指數函數的性質ppt

來源:自我鑒定 發布時間:2019-07-30 10:31:57 點擊:

指數函數優秀教案_指數函數的性質ppt

2.2.2 指數函數教案教學目標: 1、知識目標:使學生理解指數函數的定義,初步掌握指數 函數的圖像和性質。

2、能力目標:通過定義的引入,圖像特征的觀察、發現過 程使學生懂得理論與實踐的辯證關系,適時滲透分類討論的數 學思想,培養學生的探索發現能力和分析問題、解決問題的能 力。

3、情感目標:通過學生的參與過程,培養他們手腦并用、 多思勤練的良好學習習慣和勇于探索、鍥而不舍的治學精神。

教學重點、難點: 1、 重點:指數函數的圖像和性質 2、 難點:底數 a 的變化對函數性質的影響,突破難點 的關鍵是利用多媒體 動感顯示,通過顏色的區別,加深其感 性認識。

教學方法:引導觀察發現教學法、比較法、討論法教學過程: 一、觀察感受、事例引入 1.問:上節課我們學習了指數的運算性質,今天我們來學習 與指數有關的函數。首先什么是函數?(生:答略) 2.函數關系主要是體現兩個變量的關系。我們來考慮一個實 際的例子:大家對“非典”應該并不陌生,它與其它的傳染病 一樣,有一定的潛伏期,這段時間里病原體在機體內不斷地繁 殖,病原體的繁殖方式有很多種,分裂就是其中的一種。我們 來看一種球菌的分裂過程: PPT 演示:某種球菌分裂時,由 1 分裂成 2 個,2 個分裂成 4 個,------。如果說我們引入兩個變量 x—分裂次數,y—細胞 數目,請問我們現在能不能建立 y 關于 x 的函數的關系? 我們發現分裂次數與細胞數目能夠建立一種函數關系 : x∈N* 3.還有這么一個故事: 有人要走完一段路,第一次走這段路的一半,每次走余 下路程的一半,請問最后能達到終點嗎? PPT 演示: 如果說我們引入兩個變量 x—次數,y—剩下路程, 請問我們現在能不能建立 y 關于 x 的函數的關系? 我們發現次數與剩下的路程能夠建立一種函數關系: 1 y=( ) x , x∈N* 2 4.學生分組討論,培養觀察能力 問題:我們在前面學習了分數指數冪?請問大家剛才兩個函數 能不能輸入其它非正整數的數呢?(PPT 演示) 1 因此,我們得到了這樣兩個函數:y=2x 和 y=( ) x 2 x ∈R y=2x,問題:大家還能舉出形式和剛才差不多的函數嗎?(PPT 演 示) 大家還能從這些特征中,概括出一個式子來表示它們嗎? 底數大于 0 且不同,指數均為 x y=ax x ∈R 這里的 a 可以取什么樣的值?(PPT 演示)a>0 且 a≠1 二、切實感受,推出定義(點題) 一般地, 函數 y=ax ( a>0 且 a≠1)叫做指數函數,其中 x 是自變量,其 定義域為 R。

口答 1:判斷下列函數是否是指數函數?(PPT 演示) 1)y = 2-x = x0.62)y =- 0 . 5x3)y = 3 · 2x4) y三、深入理解,探究性質(多媒體展示,數形結合)我們已經知道了指數函數的形式了,那么下面讓我們來探究它 的性質,首先從圖象開始! 1、同一坐標系中分別作出以下函數的圖像 1)y=2x 和 1 y=( ) x 2 1 2)y=2x 和 y=( ) x 3 (列表、描點、連線)(PPT 演示) 2、函數性質: a>1 0<a<1圖象 圖 像 圖像分布在一、二象限,與軸相交,落在軸的上方。

都過點(0,1) 特 征第一象限的點的縱坐標都大 第一象限的點的縱坐標都大于 于 1;第二象限的點的縱坐標 0 且小于 1;第二象限的點的 都大于 0 且小于 1。

從左向右圖像逐漸上升。

(1)定義域:R 縱坐標都大于 1。

從左向右圖像逐漸下降。性(2)值域:(0,+∞) (3)過定點(0,1),即 x=0 時,y=1質(4)x>0 時 , y>1;x<0 時 , 0<y<1 (5)在 R 上是增函數(4)x>0 時, 0<y<1;x<0 時, y>1. (5)在 R 上是減函數例 1 、比較下列各題中兩個值的大小: (1)1.52.5 , 1.53.2 (2)0.5-1.2 , 0.5-1.5 (3)1.50.3 , 0.81.2 (PPT 演示) 學生討論: 比較大小問題的處理方法: 1:看類型 2:同底用單調性 3:其它類型找中間量:a>b,b>c 則 a>c 例 2、(1)已知 3x≥30.5,求實數 x 的取值范圍 (2)已知 0.2x<25,求實數 x 的取值范圍 (PPT 演示)這也是含變量的大小比較——單調性的應用 學生討論: 小結:形如:af(x)<ag(x)的不等式的解 當 a>1 時原不等式等價于: f(x)<g(x) 當 0<a<1 時原不等式等價于: f(x)>g(x) 例 3、說明下列函數的圖象指數函數 y=2x 的圖象關系,并畫出 示意圖: (1)y=2x-2 (2)y=2x+2四、歸納小結 1、本節課的主要內容是:指數函數的定義、圖像和性質 2、本節學習的重點是:掌握指數函數的圖像和性質 3、學習的關鍵是:弄清楚底數 a 變化對于函數值變化的影響。

只有徹底弄清并掌握了指數函數的圖像和性質,才能靈活運用 性質解決實際問題。我們發現研究一個新函數要從: 背景——基本特征——形成過程——基本性質——應 用

冪函數與指數函數的區別_指數函數的性質ppt

冪函數與指數函數的區別1.指數函數:自變量 x 在指數的位置上,y=a^x(a>0,a 不等于 1) 性質比較單一,當 a>1 時,函數是遞增函數,且 y>0; 當 0<a<1 時,函數是遞減函數,且 y>0. 2.冪函數:自變量 x 在底數的位置上,y=x^a(a 不等于 1). a 不等于 1,但可正可負,取不同的值,圖像及性質是不一樣的。

高中數學里面,主要要掌握 a=-1、2、3、1/2 時的圖像即可。其中當 a=2 時, 函數是過原點的二次函數。

其他 a 值的圖像可自己通過描點法畫下并了解下基本 圖像的走向即可。

3.y=8^(-0.7)是一個具體數值,并不是函數,如果要和指數函數或者冪函數聯系 起來也是可以的。首先你可以將其看成:指數函數 y=8^x(a=8),當 x=-0.7 時, y 的值;或者將其看成:冪函數 y=x^(-0.7)(a=-0.7),當 x=8 時,y 的值。 冪函數的性質: 根據圖象,冪函數性質歸納如下: (1)所有的冪函數在(0,+∞)都有定義,并且圖象都過點 (1,1); (2)當 a>0 時,冪函數的圖象通過原點,并且在區間[0,+ ∞)上是增函數. 特別地,當 a>1 時,冪函數的圖象下凸;當 0<a<1 時,冪函數的圖象上凸; (3)當 a<0 時,冪函數的圖象在區間(0,+∞)上是減函數.在第一象限內, 當 x 從右邊趨向原點時,圖象在 y 軸右方無限地逼近 y 軸正半軸,當 x 趨 于+∞時,圖象在軸 x 上方無限地逼近軸 x 正半軸。

指出:此時 y=x0=1;定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),特別強調, 當 x 為任何非零實數時,函數的值均為 1,圖像是從點(0,1)出發,平行于 x 軸的兩條射線,但點(0,1)要除外。

思考討論: (1)在冪函數 y=xa 中,當 a 是正偶數時,這一類函數有哪種重要性質? (2)在冪函數 y=xa 中,當 a 是正奇數時,這一類函數有哪種重要性質? 講評:(1)在冪函數 y=xa 中,當 a 是正偶數時,函數都是偶函數,在第一象 限內是增函數。 對數函數的性質(1)當 a>1 時, ①x >0,即 0 和負數無對數; ②當 x=1 時,y=0; ③當 x >1 時,y>0;當 0< x <1 時,y <0; ④在(0,+∞)上是增函數. (2)當 0<a<1 時, ①x >0,即 0 和負數沒有對數; ②當 x=1 時,y=0; ③當 x >1 時,y < 0;當 0< x <1 時,y >0; ④在(0,+∞)上是減函數.函數叫做冪函數,其中 x 是自變量,a 是常數(這里我們只討論 a 是有理數 n 的情況). 對數與對數函數 學習目標 1、理解對數概念; 2、能進行對數式與指數式的互化; 3、掌握對數的運算性質; 4、培養應用意識、化歸意識。

5、掌握對數函數的概念; 6、掌握對數函數的圖像的性質; 7、掌握比較對數大小的方法,培養應用意識; 8、培養圖形結合、化歸等思想。

知識要點: 知識要點: 我們在學習過程遇到 2x=4 的問題時,可憑經驗得到 x=2 的解,而一旦出現 2x=3 時,我們就無法用已學過的知識來解決,從而引入出一種新的運算——對 數運算。

1.對數的定義: .對數的定義 如果 ab=N(a>0, a≠1), 且 那么數 b 叫做以 a 為底 N 的對數, 記作:logaN=b。

其中 a 叫做對數的底數,N 叫做真數。 注意:由于 a>0,故 N>0,即 N 為正數,可見零和負數沒有對數。

上面的問題: 通常將以 10 為底的對數叫做常用對數, 數叫做自然對數, 2.對數式與指數式的關系 . 由定義可知:對數就是指數變換而來的,因此對數式與指數式聯系密切,且 可以互相轉化。它們的關系可由下圖表示。

。以 e 為底的對由此可見 a,b,N 三個字母在不同的式子中名稱可能發生變化。

3.三個對數恒等式 由于對數式與指數式可以互化, 因此指數的恒等轉化為對數恒等式。

(a>0, 在 a≠1)前提下有:三個運算法則: 4. 三個運算法則: 指數的運算法則通過轉化可變為對數的運算法則。

a>0, 在 a≠1 的前提下有: (1) 令 am=M,an=N,則有 m=logaM,n=logaN, ∵ ,∴ m+n=loga(MN),即(2) 令 am=M,an=N,則有 m=logaM,n=logaN, ∵ ,∴ ,即,。 (3) mn=n ∵ Mn=amn,∴ mn= 5.兩個換底公式 .,令 am=M,則有 m=logaM,∴(n∈R),∴ n=。同底對數才能運算,底數不同時可考慮進行換底,在 a>0,a≠1,M>0 的前 提下有: (1) 令 logaM=b,則有 ab=M,(ab)n=Mn,即 即: 。

,即 ,(2),令 logaM=b,則有 ab=M,則有即,即,即當然,細心一些的同學會發現(1)可由(2)推出,但在解決某些問題(1)又有 它的靈活性。而且由(2)還可以得到一個重要的結論: 例題選講: 例題選講: 第一階梯 1]將下列對數式化為指數式,指數式化為對數式: [例 1] (1)log216=4; (3)54=625;解: (1)24=16 (3)∵54=625,∴log5625=4.2]解下列各式中的 x: [例 2](3)2x=3; (4)log3(x-1)=log9(x+5). 解:(3)x=log23.(4)將方程變形為3]求下列函數的定義域: [例 3] 思路分析: 思路分析: 求定義域即求使解析式有意義的 x 的范圍,真數大于 0、底大于 0 且不等于 1 是對數運算有意義的前提條件。

解: (1)令 x2-4x-5>0,得(x-5)(x+1)>0,故定義域為{x|x<-1,或 x>5}∴0<4x-3≤1。所以所求定義域為{x|-1<0,或 0<X<2}.< SPAN> 第二階梯 4]比較下列各組數中兩個值的大小 [例 4] (1)log23.4, log28.5; (2)log0.31.8, log0.32.7; (3)loga5.1, loga5.9(a>0,a≠1)。

思路分析: 思路分析: 題中各組數可分別看作對數函數 y=log2x、 y=log0.3x、 y=logax 的兩函數值, 可由對數函數的單調性確定。 解: (1)因為底數 2>1,所以對數函數 y=log2x 在(0,+∞)上是增函數,于是 log23.4<LOG28.5; (2)因為底數為 0.3,又 0<0.3<1,所以對數函數 y=log0.3x 在(0,+∞)上是 減函數,于是 log0.31.8>log0.32.7; (3)當 a>1 時, 函數 y=logax 在(0, +∞)上是增函數, 所以 loga5.1<LOGa5.9; 當 0<Aax 在(0,+∞)上是減函數,所以 loga5.1>loga5.9。

說明: 說明:本題是利用對數函數的單調性比較兩對數的大小問題,對底數與 1 的大小關系未明確指定時,要分情況對底數進行討論來比較兩個對數的大小,利 用函數單調性比較對數的大小,是重要的基本方法。

5]若 [例 5] a>0,a≠1,x>0,y>0,x>y,下列式子中正確的個數是( ) (1)logaxlogay=loga(x+y); (2)logax-logay=loga(x-y);(4)logaxy=logaxlogay; A、0 B、1 C、2 D、3 思路分析: 思路分析: 對數的運算實質是把積、商、冪的對數運算分別轉化為對數的加、減、乘的 運算。在運算中要注意不能把對數符號當作表示數的字母參與運算。如 logax≠ logax,logax 是不可分開的一個整體。4 個選項都把對數符號當作字母參與運 算,因此都是錯誤的。

答案: 答案:A 6]已知 lg2=0.3010,lg3=0.4771,求 [例 6] 思路分析: 思路分析: 分析 解本題的關鍵是設法將 代入計算。

解: 。的常用對數分解為 2, 的常用對數 3 第三階梯 7]若方程 lg(ax)lg(ax2)=4 的所有解都大于 1,求 a 的取值范圍。

[例 7] 思路分析: 思路分析:由對數的性質,方程可變形為關于 lgx 的一元二次方程,化歸為 一元二次方程解的討論問題。

解:原方程化為 (lgx+lga)(lga+2lgx)=4。

2lg2x+3lgalgx+lg2a-4=0, 令 t=lgx,則原方程等價于 2t2+3tlga+lg2a-4=0,(*) 若原方程的所有解都大于 1,則方程(*)的所有解均大于 0,則說明: 說明:換元要確保新變量與所替換的量取值范圍的一致性。

8]將 [例 8] y=2x 的圖像( ) A、先向左平行移動 1 個單位 B、先向右平行移動 1 個單位 C、先向上平行移動 1 個單位 D、先向下平行移動 1 個單位 再作關于直線 y=x 對稱的圖像,可得函數 y=log2(x+1)的圖像。

思路分析: 思路分析:由于第二步的變換結果是已知的,故本題可逆向分析。

解法 1:在同一坐標系內分別作為 y=2x 與 y=log2(x+1)的圖像,直接觀察, 即可得 D。 解法 2:與函數 y=log2(x+1)的圖像關于直線 y=x 以對稱的曲線是它的反函 數 y=2x-1 的圖像,為了得到它,只需將 y=2x 的圖像向下平移 1 個單位。

解法 3:本身。函數 y=2x 的圖像向左或向右或向上平行移動都不會過(0,0)點,因 此排除 A、B、C,即得 D。

說明: 說明:本題從多角度分析問題、解決問題,注意培養思維的靈活性。

9]已知 log189=a,18b=5,求 log3645 的值; (用含有 a、b 的式子表示) [例 9] 思路分析: 思路分析: 當指數的取值范圍擴展到有理數后,對數運算就是指數運算的逆運算(擴展 之前開方運算是乘方運算的逆運算)。因此,當一個題目中同時出現指數式和對 數式時,一般要把問題轉化,即統一到一種表達形式上。

由 得 ∴log189+log185=log3645=a+b, 解: 18b=5, b=log185, 又 log189=a, 則說明:在解題過程中,根據問題的需要指數式轉化為對數式,或者對數式轉 說明: 化為指數式運算,這正是數學轉化思想的具體體現,轉化思想是中學重要的教學 思想,要注意學習、體會,逐步達到靈活應用。

詳細題解 1.求值:(1) 求值: (2) (3)解:(1) (2)。(3) 注意: 注意:lg2=log102,此為常用對數,lg22=(lg2)2,區別于 2.求值:(1) (2)。

(3)解: (1)(2)。(3) 法一:法二: 注意: 注意:運用換底公式時,理論上換成以大于 0 不為 1 任意數為底均可,但具 體到每一個題,一般以題中某個對數的底為標準,或都換成以 10 為底的常用對 數也可。(3) 的第二種方法直接運用的第一個換底公式,很方便。

3.已知:log23=a,log37=b,求:log4256=?解:∵,∴,4.已知:a2+b2=7ab,a>0,b>0。

求證:。 證明: 證明:∵ a2+b2=7ab,∴ a2+2ab+b2=9ab,即(a+b)2=9ab,∴ lg(a+b)2=lg(9ab), ∵ a>0,b>0,∴ 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb,∴ 2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb 即 5. 已知: 證明: 證明:設 求證:3ab-bc-2ac=0。

,則: ,,∵ 即 3ab-bc-2ac=0。,∴ 3ab=bc+2ac,6.求值:解:另解:設 另解=m (m>0),∴,∴,∴,∴ lg2=lgm,∴ 2=m,即。 課后練習: 后練習:1.2. 3.4.已知:xlog34=1,求:的值。5.已知:lg2=a,lg3=b,求:log512 的值。

參考答案: 參考答案:1. -2. -3.4.5.對數函數的性質及應用 概念與規律: 概念與規律: 1.對數函數 y=logax 是指數函數 y=ax 的反函數,在學習對數函數的概念, 圖象與性質時,要處處與指數函數相對照。

2.在同一坐標系內,當 a>1 時,隨 a 的增大,對數函數的圖像愈靠近 x 軸; 當 0<A<1< SPAN>時,對數函數的圖象隨 a 的增大而遠離 x 軸。(見圖 1) 例 1.求下列函數的定義域。(1) y= (2) y=ln(ax-k2x) (a>0 且 a≠1,k∈R)解:(1)因為,所以,所以函數的定義域為(1,)(,2)。 (2) 因為 ax-k2x>0,所以( 10,當 k≤0 時,定義域為 R;)x>k。20,當 k>0 時,(i)若 a>2,則函數定義域為(k,+∞);(ii)若 0<A<2< SPAN>,且 a≠1,則函數定義域為(-∞,k);(iii)若 a=2,則當 0<K<1< SPAN>時,函數定義域為 R;當 k≥1 時,此時不 能構成函數,否則定義域為 。

例 2.若 logm3.5>logn3.5(m,n>0,且 m≠1,n≠1),試比較 m ,n 的大小。

解: (1)當 m>1,n>1 時,∵3.5>1,由對數函數性質:當底數和真數都大于 1 時, 對同一真數,底數大的對數值小,∴n>m>1。

(2)當 m>1, 0<N<1< SPAN>時, ∵logm3.5>0, logn3.5<0, 0<N<1<M< SPAN> ∴ 也是符合題意的解。

(3)當 0<M<1< SPAN>,0<N<1< SPAN>時,∵3.5>1,由對數函數性質,此時 底數大的對數值小,故 0<M<N<1< SPAN>。

綜上所述,m,n 的大小關系有三種:1<M<N< SPAN>或 0<N<1<M< SPAN>或 0<M<N<1< SPAN>。

例 3.作出下列函數的圖象: (1) y=lgx,y=lg(-x),y=-lgx 解:(1)如圖 2; (2)如圖 3; (2) y=lg|x| (3)如圖 4。

(3) y=-1+lgx例 4.函數 y=f(2x)的定義域為[-1,1],求 y=f(log2x)的定義域。提示:由-1≤x≤1,可得 y=f(x)的定義域為[ 提示 得 y=f(log2x)的定義域為[ ,4]。,2],再由≤log2x≤2 例 5.求函數 y=(-x2+2x+3)的值域和單調區間。則 ∵ 解:設 t=-x2+2x+3, t=-(x-1)2+4, y=t 為減函數, 0<T< SPAN>≤4, 且∴ y≥=-2,即函數的值域為[-2,+∞)。再由:函數 y=(-x2+2x+3)的定義域為-x2+2x+3>0,即-1<X<3< SPAN>。∴ t=-x2+2x+3 在(-1,1)上遞增而在[1,3)上遞減,而 y=t 為減函數。∴ 函數 y=(-x2+2x+3)的減區間為(-1,1),增區間為[1,3)。例 6.已知 f(x)=ax-a-x(其中 0<A<1)< SPAN>。

(1)求函數 f(x)的反函數 f-1(x); (2)試判斷函數 f-1(x)的奇偶性,并證 明你的結論。解:(1)設 y=ax-a-x,則 a2x-yax-1=0,∵ ax>0,解得 ax=,∴x=loga,∴ 所求函數的反函數 f-1(x)=loga(x∈R)。(2)∵x∈R 且 f-1(-x)=loga=loga=loga()-1=-f-1(x)。∴函數 f-1(x)是奇函數。例 7.已知 f(logax)= 則 0<X1<X2,(a>0 且 a≠1),試判斷函數 f(x)的單調性。解:設 t=logax(x∈R+,t∈R)。當 a>1 時,t=logax 為增函數,若 t1<T2, ∴ f(t1)-f(t2)=,∵ 0<X1<X2,a>1,∴ f(t1)<F(T2),∴ f(t)在 R 上為增函數, 當 0<A<1< SPAN>時,同理可得 f(t)在 R 上為增函數。∴ 不論 a>1 或 0<A<1< SPAN>,f(x)在 R 上總是增函數。

例 8.已知函數 f(x)=lg(ax2+2x+1)。

(1)若函數 f(x)的定義域為 R,求實數 a 的取值范圍;(2)若函數 f(x)的值 域為 R,求實數 a 的取值范圍。

分析:與求函數定義域、值域的常規問題相比,本題屬非常規問題,關鍵在 分析 于轉化成常規問題。f(x)的定義域為 R,即關于 x 的不等式 ax2+2x+1>0 的解集 為 R,這是不等式中的常規問題。

f(x)的值域為 R 與 ax2+2x+1 恒為正值是不等價 的,因為這里要求 f(x)取遍一切實數,即要求 u=ax2+2x+1 取遍一切正數, 考察此函數的圖象的各種 情況,如圖 5,我們會發現,使 u 能取遍一切正數的條件是。解:(1)f(x)的定義域為 R,即:關于 x 的不等式 ax2+2x+1>0 的解集為 R, 當 a=0 時,此不等式變為 2x+1>0,其解集不是 R;當 a≠0 時,有a>1。∴ a 的取值范圍為 a>1。

a=0 或(2)f(x)的值域為 R,即 u=ax2+2x+1 能取遍一切正數0≤a≤1, ∴ a 的取值范圍為 0≤a≤1。

例 9.已知函數 h(x)=2x(x∈R),它的反函數記作 g(x),A、B、C 三點在函 數 g(x)的圖象上,它們的橫坐標分別為 a,a+4,a+8(a>1),記 ΔABC 的面積為 S。 (1)求 S=f(a)的表達式; (2)求函數 f(a)的值域; (3) 判斷函數 S=f(a)的單調性,并予以證明;(4)若 S>2,求 a 的取值范圍。

解:(1)依題意有 g(x)=log2x(x>0),并且 A、B、C 三點的坐標分別為 A(a, log2a),B(a+4,log2(a+4)),C(a+8,log2(a+8)) (a>1),如圖 6。∴ A,C 中點 D 的縱坐標為〔log2a+log2(a+8)〕∴ S= |BD|42=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8)。

(2)把 S=f(a)變形得:S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2=2log2(1+)。由于 a>1 時,a2+8a>9,∴1<1+ 上是增函數,<,又函數 y=log2x 在(0,+∞)∴ 0<2log2(1+ 1<A1<A2<+∞,則:)<2log2,即 0<S<2LOG2。(3)S=f(a)在定義域(1,+∞)上是減函數,證明如下:任取 a1,a2,使(1+)-(1+)=16()=16 +8a2>0,, +8a1>0, a1-a2<0,由 a1>1, a2>1, a2>a1, a1+a2+8>0, 且 ∴∴ 1<1+ 于是可得 f(a1)>f(a2)<1+, 再由函數 y=log2x 在(0, +∞)上是增函數,∴ S=f(a)在(1,+∞)上是減函數。(4)由 S>2, 即得 課外練習: 課外練習:, 解之可得:1<A-4。 1. 已知 y=loga(2-ax)在[0, 1]上是 x 的減函數, a 的取值范圍是______。

則2.已知函數 f(x)=loga(a>0 且 a≠1,b<0)。(1)求函數 f(x)的定義域;(2)判斷函數 f(x)的奇偶性,并予以證明; (3)指出 f(x)的單調區間;(4)求函數 f(x)的反函數。

3.已知函數 f(x)=lg(x+ 稱;(2)f(x)為單調函數。

4.已知關于 x 的方程 log2(x+3)-log4x2=a 的解在區間(3,4)內,求實數 a 的取值范圍。

參考答案: 參考答案: 1.(1,2) )-lg2,證明:(1) f(x)的圖象關于原點對2. (1) (-∞,)(-,+∞)(2) 奇函數(3) a>1 時,f(x)在(-∞,),(-,+∞)上都是增函數,0<A<1< SPAN>時,f(x)在(-∞,),(-,+∞)上都是減函數。(4) f-1(x)=(x≠0,x∈R)。3. (1)證明 f(x)為奇函數;(2)證明 f(x)為 R 上的增函數。4.log2<A<1< SPAN>。

專題輔導 對數與對數函數1.本單元重、難點分析 本單元重、 1)重點:對數的定義;對數的性質與運算法則;在理解對數函數的定義的 基礎上,掌握對數函數的圖象和性質。

2)難點:對數定義中涉及的名稱較多,易混難記;對數的運算法則的指導 和應用;對數函數的圖象與性質及其運用。

2.典型例題選講 例 1.已知 log23=a,3b=7,求 log1256 的值。

講解:先將 3b=7 轉化為 log37=b,然后設法將 log1256 化成關于 log23 和 log37 的表達式,即可求值。

[解法 1] ∵ log23=a,∴ 2a=3。

又 3b=7,∴ 7=(2a)b=2ab,故 56=23+ab。

又 12=34=2a4=2a+2。

從而 56= ,故 log1256=log12。[解法 2]∵ log23=a, log32= ∴ 從而, 3b=7, log37=b, 又 ∴log1256=。[解法 3]∵ log23==a, lg3=alg2, 3b=7, lg7=blg3, ∴ 又 ∴ ∴lg7=ablg2。從而 log1256=。說明:解法 1 借助指數變形來解;解法 2 與解法 3 是利用換底公式來解,顯 得較簡明,應用對數換底公式解這類題的關鍵是適當選取新的底數,從而把已知 對數和所求對數都換成新的對數,再代入求值即可。

例 2.已知 loga3>logb3>0,則 a,b,1 的大小關系是_______。

講解:由對數函數的性質可知,a>1,b>1,關鍵是判斷 a 與 b 的大小,這可 以利用對數函數的單調性來解決。[解法 1] 由 loga3>logb3>0 log3b>log3a>log31。

∵ y=log3x 是增函數,故 b>a>1。>0log3b>log3a>0[解法 2] 由 loga3>logb3>0>0。 ∵ lg3>0,∴ lga>0,lgb>0,∴ 上式等價于>0lgb>lga>0lgb>lga>lg1。∵ y=lgx 是增函數,故 b>a>1。

[解法 3]分別作出 y=logax 與 y=logbx 的圖象, 然后根據圖象特征進行推斷。

∵ loga3>logb3>0,∴ a>1,b>1,故 y=logax 與 y=logbx 均為增函數。

又∵ loga3>logb3>0,∴ 當 x>1 時,y=logax 的圖象應在 y=logbx 圖象的 上方,如圖所示。

根據對數函數的圖象分布規律,可知:b>a>1。

說明:解法 1 利用了 logab 與 logba 互為倒數,轉化為同底的對數,再利用 單調性判斷。解法 2 利用了換底公式。解法 3 利用了圖象的特征。

3.容易產生的錯誤 1) 對數式 logaN=b 中各字母的取值范圍(a>0 且 a≠1, N>0, b∈R)容易記錯。

2)關于對數的運算法則,要注意以下兩點: 一是利用對數的運算法則時,要注意各個字母的取值范圍,即等式左右兩邊 的對數都存在時等式才能成立。如:log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立 的,因為雖然 log2(-3)(-5)是存在的,但 log2(-3)與 log2(-5)是不存在的。

二是不能將和、差、積、商、冪的對數與對數的和、差、積、商、冪混淆起 來,即下面的等式是錯誤 錯誤的: 錯誤 loga(M±N)=logaM±logaN, loga(MN)=logaMlogaN,loga 討論。。3)解決對數函數 y=logax (a>0 且 a≠1)的單調性問題時,忽視對底數 a 的 4)關于對數式 logaN 的符號問題,既受 a 的制約又受 N 的制約,兩種因素 交織在一起,學生應用時經常出錯。下面介紹一種簡單記憶方法,供同學們學習 時參考。

以 1 為分界點,當 a,N 同側時,logaN>0;當 a,N 異側時,logaN<0。

反饋練習 一、選擇題 1.設 a,b,c 為正數,且 3a=4b=6c,則有( )。A、B、C、D、 2.已知,那么 a 的取值范圍是( )。A、B、C、D、或 a>13.圖 2 中曲線是對數函數 y=logax 的圖象,已知 a 值取 相應于 C1,C2,C3,C4 的 a 值依 次為( )。,則A、B、C、D、4.函數 A、(-∞,3] +∞)的單調遞增區間為( )。

B、(-∞,1)或[3,5) C、[3,+∞) D、(1,3)或(5,5.設偶函數 f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上是增函數,則 f(a+1)與 f(b+2)的 大小關系是( )。

A、f(a+1)=f(b+2) B、f(a+1)>f(b+2) D、不能確定 C、f(a+1)<F(B+2)< SPAN> 值是( )。

A、1 B、2 C、3 D、6 二、填空題: 填空題: 7.已知函數 y=loga(kx2+4kx+3),若函數的定義域為 R,則 k 的取值范圍是 __________; 若函數的值域為 R,則 k 的取值范圍是________。6.設方程 2x+x-3=0 的根為 α,方程 log2x+x-3=0 的根為 β,則 α+β 的8.已知函數,則 f(log23)的值為_______。 9.已知 a=0.33,b=30.3, c=log30.3, d=log0.33,則 a,b,c,d 的大小關系 是______。

三、解答題: 解答題: 10.設 logac, logbc 是方程 x2-3x+1=0 的兩根,求 的值。11.設 1)判斷 f(x)的單調性,并給出證明; 2) f(x)的反函數為 f-1(x), 若 證明 f-1(x)=0 有唯一 解;3)解關于 x 的不等式。12.光線通過一塊玻璃板,其強度要損失 10%,把幾 塊這樣的玻璃板重疊起來,設光線原來的強度為 a,通過 x 塊玻璃板以后強度值 為 y。

1)試寫出 y 關于 x 的函數關系式;2)通過多少塊玻璃板以后,光線強度減弱到原來的 以下。

答案: 答案: 一、選擇題 1、B 2、D 3、A 4、B 5、B 6、C 1.設 3a=4b=6c=k, 則 a=log3k, b=log4k, c=log6k,∴, 同理,,而, ∴,即。2.當 a>1 時,由知,故 a>1;當 0<A<1< SPAN>時,由知 0<A< v:shapes="_x0000_i1212"src="tgg1sx09.files/image076.gif", 故。 綜上知:a 的取值范圍是或 a>1。4.因為,所以只求出 y=|x2-6x+5| 的遞減區間即可。f(x)的定義域為(-∞,1)∪(1,5)∪(5,+∞)。作出 y=|x2-6x+5|=|(x-3)2-4|的圖象。如圖 3 所示,由圖象即可知。

5.由 f(x)是偶函數,得 b=0; 又因為 f(x)在(-∞,0)上是增函數,得 0<A<1.< SPAN> 所以 0<A+1< SPAN>,由 f(x)在(0,+∞)上是減 函數,得 f(a+1)>f(b+2) 6.將方程整理得 2x=-x+3,log2x=-x+3,如圖 4 所示, 可知 a 是指數函數 y=2x 的圖象與直線 y=-x+3 的交點 A 的橫坐標;β 是對數函數 y=log2x 的圖象與直線 y=-x+3 的交點 B 的橫 坐標。由于函數 y=2x 與函數 y=log2x 互為反函數,它們的圖象關于直線 y=x 對 稱, 所以 A, 兩點也關于直線 y=x 對稱, B 所以 A(α,β), B(β,α)。

注意到 A(α,β) 在直線 y=-x+3 上,所以有 β=-α+3,即 α+β=3。

二、填空題: 填空題:7.。要使函數的定義域為 R,只需對一切實數 x, kx2+4kx+3>0 恒成立,其充要條件是 k=0 或 解得 k=0 或 ,故 k 的取值范圍是 。要使函數的值域為 R,只需 kx2+4kx+3 能取遍一切正數,則,解得 8. 。

∵1<LOG23<2,。

故 k 的取值范圍是 3+log23>4,。∴. 又∵當 x<4 時,f(x+1)=f(x),∴f(log23)=f(1+log23)=f(2+log23)=f(3+log23)= 9.b>a>d>c, ∵3>1, 又∵b=30.3>1, ∵0.3>0,3>0, a=0.33<1,.∴a=0.33>0, b=30.3>0. ∴ b>a0<0.3<1,∴c=log30.3<0, d=log0.33<0而 三、解答題: 解答題:,, ∴d>c.10.依題意得:即, 即∴ ∴ 。。故 11.。1)由得-1<X<>所以 f(x)的定義域為(-1,1).設-1<X1<X2<1,則 f(x1)-f(x2)=, 又因為(1-x1)(1+x2)-(1-x2)(1+x1) =(1-x1+x2-x1x2)-(1+x1-x2-x1x2)=2(x2-x1)>0, (1-x1)(1+x2)>0, (1+x1)(1-x2)>0, 所以所以,又易知, 故 f(x)在(-1,1)上是減函數。∴ f(x1)-f(x2)>0 , 即 f(x1)>f(x2). 2) 因為 , 所以, 即 f-1(x)=0 有一個根。假設 f-1(x)=0 還有一個根,則 f-1(x0)=0,即,這與 f(x)在(-1,1)內單調遞減相矛盾。故是方程 f-1(x)=0 的唯一解。3)因為,所以。又 f(x)在(-1,1)上單調遞減,所以。解得 12.。1]經過 1 塊玻璃板后光線強度為:(1-10%)a=0.9a; 經過 2 塊玻璃板后光線強度為:(1-10%)0.9a=0.92a; 經過 3 塊玻璃板后光線強度為:(1-10%)0.92a=0.93a; …… 經過 x 塊玻璃板后光線強度為:0.9xa. 所以,y=0.9xa (x∈N+).2]由題意可知:, ∴,兩邊取常用對數得:xlg0.9,又 lg0.9<>∴. 故 xmin=11.答:需要 11 塊以上玻璃板重疊起來,光線強度減弱到原來的 以 下。

檢測題 1、在 b=log(a-2)(5-a)中,實數 a 的范圍是( ) A、a>5 或 a<2 B、2<A<a<3 或 3<a<a<4< FONT>B、1 3、若 logab=logba(a≠b),則 ab=(D、2 )A、1B、2D、44、若 lg2=a,lg3=b,則 log512 等于( )6、()7、y=(0.2)-x+1 的反函數是( ) A、y=log5x+1(x>0) C、y=log5(x+1)(x>-1) B、y=log5x+1(x>0 且 x≠1) D、y=log5(x-1)(x>1) 8、已知 y=loga(2-ax)在[0,1]上是 x 的減函數,則 a 的取值范圍是( ) A、(0,1) B、(1,2) C、(0,2) ) D、無意義 ) D、[2,+∞)9、若 0<A<1,則 LOG3(log3a)是( A、正數 B、負數 C、零10、已知 a=log32,那么 log38-2log36 用 a 表示是( A.a-2 B.5a-2 C.3a-(1+a)2 D.3a-a2-111、若 log2[log0.5(log2x)]=0,則 x=________。

12、計算答案: 答案: 1—5 6—10 C C A D A B D C A A12、 (1)原式=1; (2)原式=1。指數函數 指數函數的一般形式為 y=a^x(a>0 且不=1) , 從上面我們對于冪函數的討論就可 以知道,要想使得 x 能夠取整個實數集合為定義域,則只有使得 如圖所示為 a 的不同大小影響函數圖形的情況。

在函數 y=a^x 中可以看到: (1) 指數函數的定義域為所有實數的集合,這里的前提是 a 大于 0 且不等 于 1,對于 a 不大于 0 的情況,則必然使得函數的定義域不存在連續的區間,因 此我們不予考慮, 同時 a 等于0一般也不考慮。

(2) 指數函數的值域為大于 0 的實數集合。

(3) 函數圖形都是下凹的。

(4) a 大于 1,則指數函數單調遞增;a 小于 1 大于 0,則為單調遞減的。

(5) 可以看到一個顯然的規律,就是當 a 從 0 趨向于無窮大的過程中(當 然不能等于 0),函數的曲線從分別接近于 Y 軸與 X 軸的正半軸的單調遞減函數 的位置,趨向分別接近于 Y 軸的正半軸與 X 軸的負半軸的單調遞增函數的位置。

其中水平直線 y=1 是從遞減到遞增的一個過渡位置。

(6) 函數總是在某一個方向上無限趨向于 X 軸,永不相交。

(7) 函數總是通過(0,1)這點 (8) 顯然指數函數無界。

(9) 指數函數既不是奇函數也不是偶函數。

(10)當兩個指數函數中的 a 互為倒數是,此函數圖像是偶函數。

例 1:下列函數在 R 上是增函數還是減函數?說明理由. ⑴y=4^x 因為 4>1,所以 y=4^x 在 R 上是增函數; ⑵y=(1/4)^x 因為 0<1/4<1,所以 y=(1/4)^x 在 R 上是減函數對數的概念如果 a(a>0,且 a≠1)的 b 次冪等于 N,即 ab=N,那么數 b 叫做以 a 為底 N 的對 數,記作:logaN=b,其中 a 叫做對數的底數,N 叫做真數. 由定義知: ①負數和零沒有對數; ②a>0 且 a≠1,N>0; ③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特別地,以 10 為底的對數叫常用對數,記作 log10N,簡記為 lgN;以無理數 e(e=2.718 28…)為底的對數叫做自然對數,記作 logeN,簡記為 lnN. 2 對數式與指數式的互化 式子名稱 abN 指數式 ab=N(底數)(指數)(冪值)對數式 logaN=b(底數)(對數)(真 數) 3 對數的運算性質 如果 a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaMN=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM (n∈R).自然對數到底有什么用? 自然對數到底有什么用?自然對數 當 x 趨近于正無窮或負無窮時,[1+(1/x)]^x 的極限就等于 e,實際上 e 就是通過這個極限而 發現的。它是個無限不循環小數。其值約等于 2.718281828... 它用 e 表示 以 e 為底數的對數通常用于㏑ 而且 e 還是一個超越數 e 在科學技術中用得非常多,一般不使用以 10 為底數的對數。以 e 為底數,許多式子都能 得到簡化,用它是最“自然”的,所以叫“自然對數”。

渦形或螺線型是自然事物極為普遍的存在形式,比如:一縷裊裊升上藍天的炊煙,一朵碧湖 中輕輕蕩開的漣漪,數只緩緩攀援在籬笆上的蝸牛和無數在恬靜的夜空攜擁著旋舞的繁 星…… 螺線特別是對數螺線的美學意義可以用指數的形式來表達: φkρ=αe 其中,α 和 k 為常數,φ 是極角,ρ 是極徑,e 是自然對數的底。為了討論方便,我們把 e 或由 e 經過一定變換和復合的形式定義為“自然律”。因此,“自然律”的核心是 e,其值為 2.71828……,是一個無限循環數。

、“自然律”之美 “自然律”是 e 及由 e 經過一定變換和復合的形式。

是“自然律”的精髓, e 在數學上它是函數: (1+1/x)^x 當 X 趨近無窮時的極限。 人們在研究一些實際問題,如物體的冷卻、細胞的繁殖、放射性元素的衰變時,都要研究 (1+1/x)^x X 的 X 次方,當 X 趨近無窮時的極限。正是這種從無限變化中獲得的有限,從兩個相反方 向發展(當 X 趨向正無窮大的時,上式的極限等于 e=2.71828……,當 X 趨向負無窮大時 候,上式的結果也等于 e=2.71828……)得來的共同形式,充分體現了宇宙的形成、發展及 衰亡的最本質的東西。

現代宇宙學表明,宇宙起源于“大爆炸”,而且目前還在膨脹,這種描述與十九世紀后半葉的 兩個偉大發現之一的熵定律,即熱力學第二定律相吻合。熵定律指出,物質的演化總是朝著 消滅信息、瓦解秩序的方向,逐漸由復雜到簡單、由高級到低級不斷退化的過程。退化的極 限就是無序的平衡,即熵最大的狀態,一種無為的死寂狀態。這過程看起來像什么?只要我 們看看天體照相中的旋渦星系的照片即不難理解。

如果我們一定要找到亞里士多德所說的那 種動力因,那么,可以把宇宙看成是由各個預先上緊的發條組織,或者干脆把整個宇宙看成 是一個巨大的發條,歷史不過是這種發條不斷爭取自由而放出能量的過程。

生命體的進化卻與之有相反的特點, 它與熱力學第二定律描述的熵趨于極大不同, 它使生命 物質能避免趨向與環境衰退。

任何生命都是耗散結構系統, 它之所以能免于趨近最大的熵的 死亡狀態,就是因為生命體能通過吃、喝、呼吸等新陳代謝的過程從環境中不斷吸取負熵。

新陳代謝中本質的東西, 乃是使有機體成功的消除了當它自身活著的時候不得不產生的全部 熵。

“自然律”一方面體現了自然系統朝著一片混亂方向不斷瓦解的崩潰過程(如元素的衰變), 另一方面又顯示了生命系統只有通過一種有序化過程才能維持自身穩定和促進自身的發展 (如細胞繁殖)的本質。正是具有這種把有序和無序、生機與死寂寓于同一形式的特點,“自 然律”才在美學上有重要價值。

如果荒僻不毛、浩瀚無際的大漠是“自然律”無序死寂的熵增狀態,那么廣闊無垠、生機盎然 的草原是“自然律”有序而欣欣向榮的動態穩定結構。因此,大漠使人感到肅穆、蒼茫,令人 沉思,讓人回想起生命歷程的種種困頓和坎坷;而草原則使人興奮、雀躍,讓人感到生命的 歡樂和幸福。

e=2.71828……是“自然律”的一種量的表達。“自然律”的形象表達是螺線。螺線的數學表達 式通常有下面五種:(1)對數螺線;(2)阿基米德螺線;(3)連鎖螺線;(4)雙曲螺 線;(5)回旋螺線。對數螺線在自然界中最為普遍存在,其它螺線也與對數螺線有一定的 關系,不過目前我們仍未找到螺線的通式。對數螺線是 1638 年經笛卡爾引進的,后來瑞士 數學家雅各伯努利曾詳細研究過它,發現對數螺線的漸屈線和漸伸線仍是對數螺線,極點 在對數螺線各點的切線仍是對數螺線,等等。伯努利對這些有趣的性質驚嘆不止,竟留下遺 囑要將對數螺線畫在自己的墓碑上。 英國著名畫家和藝術理論家荷迦茲深深感到: 旋渦形或螺線形逐漸縮小到它們的中心, 都是 美的形狀。

事實上, 我們也很容易在古今的藝術大師的作品中找到螺線。

為什么我們的感覺、 我們的“精神的”眼睛經常能夠本能地和直觀地從這樣一種螺線的形式中得到滿足呢?這難 道不意味著我們的精神,我們的“內在”世界同外在世界之間有一種比歷史更原始的同構對應 關系嗎? 我們知道,作為生命現象的基礎物質蛋白質,在生命物體內參與著生命過程的整個工作,它 的功能所以這樣復雜高效和奧秘無窮, 是同其結構緊密相關的。

化學家們發現蛋白質的多鈦 鏈主要是螺旋狀的,決定遺傳的物質——核酸結構也是螺螺狀的。

古希臘人有一種稱為風鳴琴的樂器,當它的琴弦在風中振動時,能產生優美悅耳的音調。這 種音調就是所謂的“渦流尾跡效應”。讓人深思的是,人類經過漫長歲月進化而成的聽覺器官 的內耳結構也具渦旋狀。

這是為便于欣賞古希臘人的風鳴琴嗎?還有我們的指紋、 發旋等等, 這種審美主體的生理結構與外在世界的同構對應,也就是“內在”與“外在”和諧的自然基礎。

有人說數學美是“一”的光輝,它具有盡可能多的變換群作用下的不變性,也即是擁有自然普 通規律的表現,是“多”與“一”的統一,那么“自然律”也同樣閃爍著“一”的光輝。誰能說清 e=2.71828……給數學家帶來多少方便和成功?人們贊揚直線的剛勁、明朗和坦率,欣賞曲 線的優美、變化與含蓄,殊不知任何直線和曲線都可以從螺線中取出足夠的部分來組成。有 人說美是主體和客體的同一,是內在精神世界同外在物質世界的統一,那么“自然律”也同樣 有這種統一。人類的認識是按否定之否定規律發展的,社會、自然的歷史也遵循著這種辯證 發展規律,是什么給予這種形式以生動形象的表達呢?螺線! 有人說美在于事物的節奏,“自然律”也具有這種節奏;有人說美是動態的平衡、變化中的永 恒,那么“自然律”也同樣是動態的平衡、變化中的永恒;有人說美在于事物的力動結構,那 么“自然律”也同樣具有這種結構——如表的游絲、機械中的彈簧等等。

“自然律”是形式因與動力因的統一,是事物的形象顯現,也是具象和抽象的共同表達。有限 的生命植根于無限的自然之中,生命的脈搏無不按照宇宙的旋律自覺地調整著運動和節 奏……有機的和無機的,內在的和外在的,社會的和自然的,一切都合而為一。這就是“自 然律”揭示的全部美學奧秘嗎?不! “自然律”永遠具有不能窮盡的美學內涵, 因為它象征著廣 袤深邃的大自然。正因為如此,它才吸引并且值的人們進行不懈的探索,從而顯示人類不斷 進化的本質力量。(原載《科學之春》雜志 1984 年第 4 期,原題為:《自然律——美學家 和藝術家的瑰寶》)附: 這是小數點后面兩千位: e=:2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 25094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173 61332 06981 12509 96181 88159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422 87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496 84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 59271 45635 49061 30310 72085 10383 75051 01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 02123 40784 98193 34321 06817 01210 05627 88023 51930 33224 74501 58539 04730 41995 77770 93503 66041 69973 29725 08868 76966 40355 57071 62268 44716 25607 98826 51787 13419 51246 65201 03059 21236 67719 43252 78675 39855 89448 96970 96409 75459 18569 56380 23637 01621 12047 74272 28364 89613 42251 64450 78182 44235 29486 36372 14174 02388 93441 24796 35743 70263 75529 44483 37998 01612 54922 78509 25778 25620 92622 64832 62779 33386 56648 16277 25164 01910 59004 91644 99828 93150 56604 72580 27786 31864 15519 56532 44258 69829 46959 30801 91529 87211 72556 34754 63964 47910 14590 40905 86298 49679 12874 06870 50489 58586 71747 98546 67757 57320 56812 88459 20541 33405 39220 00113 78630 09455 60688 16674 00169 84205 58040 33637 95376 45203 04024 32256 61352 78369 51177 88386 38744 39662 53224 98506 54995 88623 42818 99707 73327 61717 83928 03494 65014 34558 89707 19425 86398 77275 47109 62953 74152 11151 36835 06275 26023 26484 72870 39207 64310 05958 41166 12054 52970 30236 47254 92966 69381 15137 32275 36450 98889 03136 02057 24817 65851 18063 03644 28123 14965 50704 75102 54465 01172 72115 55194 86685 08003 68532 28183 15219 60037 35625 27944 95158 28418 82947 87610 85263 98139 參考資料: 1.《自然律——美學家和藝術家的瑰寶》 旋渦形或螺線型是自然事物極為普遍的存在形式,比如:一縷裊裊升上藍天的炊煙,一朵碧 湖中輕輕蕩開的漣漪,數只緩緩攀援在籬笆上的蝸牛和無數在恬靜的夜空攜擁著旋舞的繁 星…… 螺線特別是對數螺線的美學意義可以用指數的形式來表達: φkρ=αe 其中,α 和 k 為常數,φ 是極角,ρ 是極徑,e 是自然對數的底。為了討論方便,我們把 e 或由 e 經過一定變換和復合的形式定義為“自然律”。因此,“自然律”的核心是 e,其值為 2.71828……,是一個無限循環數。 數,美嗎? 1、數之美 人們很早就對數的美有深刻的認識。

其中, 公元前六世紀盛行于古希臘的畢達哥斯學派見解 較為深刻。他們首先從數學和聲學的觀點去研究音樂節奏的和諧,發現聲音的質的差別(如 長短、高低、輕重等)都是由發音體數量方面的差別決定的。例如發音體(如琴弦)長,聲 音就長;振動速度快,聲音就高;振動速度慢,聲音就低。因此,音樂的基本原則在于數量 關系。

畢達哥斯學派把音樂中的和諧原理推廣到建筑、 雕刻等其它藝術, 探求什么樣的比例才會產 生美的效果,得出了一些經驗性的規范。例如,在歐洲有長久影響的“黃金律”據說是他們發 現的(有人說,是蔡泌于一八五四年提出了所謂的“黃金分割律”。所謂黃金分割律“就是取一 根線分為兩部分,使長的那部分的平方等于短的那部分乘全線段。”“如果某物的長與寬是按 照這個比例所組成的,那么它就比由其它比例所組成的長方形‘要美’。”)。

這派學者還把數學與和諧的原則應用于天文學的研究,因而形成所謂“諸天音樂”或“宇宙和 諧”的概念,認為天上諸星體在遵照一定的軌道運動中,也產生一種和諧的音樂。他們還認 為,人體的機能也是和諧的,就象一個“小宇宙”。人體之所以美,是由于它各部分——頭、 手、腳、五官等比例適當,動作協調;宇宙之所以美,是由于各個物質單位以及各個星體之 間運行的速度、距離、周轉時間等等配合協調。這些都是數的和諧。

中國古代思想家們也有類似的觀點。道家的老子和周易《系辭傳》,都曾嘗試以數學解釋宇 宙生成,后來又衍為周易象數派。《周易》中賁卦的表示樸素之美,離卦的表示華麗之美, 以及所謂“極其數,遂定天下之象”,都是類似數學推理的結論。儒家的荀卿也說過:“萬物同 宇宙而異體。無宜而有用為人,數也。”莊子把“小我”與“大我”一視同仁,“小年”與“大年”等量 齊觀,也略同于畢達哥拉斯學派之把“小宇宙”和“大宇宙”互相印證。所謂“得之于手而應用于 心,口不能言,有數存在焉與其間”。這種從數的和諧看出美的思想,深深地影響了后世的 中國美學。

2、黃金律之美 黃金律歷來被染上瑰麗詭秘的色彩, 被人們稱為“天然合理”的最美妙的形式比例。

我們知道, 黃金律不僅是構圖原則,也是自然事物的最佳狀態。中世紀意大利數學家費勃奈舍發現,許 多植物葉片、花瓣以及松果殼瓣,從小到大的序列是以 0.618:1 的近似值排列的,這即是 著名的“費勃奈舍數列”:1、2、3、5、8、13、21、34……動物身上的色彩圖案也大體符合 黃金比。舞蹈教練、體操專家選擇人材制定的比列尺寸,例如肩寬和腰的比例、腰部以上與 腰部以下的比列也都大體符合黃金比。

現代科學家還發現, 當大腦呈現的“倍塔”腦電波的高頻與低頻之比是 1: 0.618 的近似值(12.9 赫茲與 8 赫茲之比)時,人的心身最具快感。甚至,當大自然的氣溫(23 攝氏度)與人的體 溫 37 攝氏度之比為 0.618:1 時,最適宜于人的身心健康,最使人感到舒適。

另外, 數學家們為 工農業生產制度的優選法,所提出的配料最佳比例、組織結構的最佳比例等等,也都大體符 合黃金律。

然而,這并不意味著黃金律比“自然律”更具有美學意義。我們可以證明,當對數螺線: φkρ=αe 的等比取黃金律,即 k=0.0765872,等比 P1/P2=0.618 時,則螺線中同一半徑線上相鄰極 半徑之比都有黃金分割關系。事實上,當函數 f(X)等于 e 的 X 次方時,取 X 為 0.4812, 那么,f(X)=0.618…… 因此,黃金律被“自然律”邏輯所蘊含。換言之,“自然律”囊括了黃金律。

黃金律表現了事物的相對靜止狀態,而“自然律”則表現了事物運動發展的普遍狀態。因此, 從某種意義上說,黃金律是凝固的“自然律”,“自然律”是運動著的黃金律。

3、“自然律”之美 “自然律”是 e 及由 e 經過一定變換和復合的形式。

是“自然律”的精髓, e 在數學上它是函數: 1(1+——) X 的 X 次方,當 X 趨近無窮時的極限。

人們在研究一些實際問題,如物體的冷卻、細胞的繁殖、放射性元素的衰變時,都要研究 1(1+——) X 的 X 次方,當 X 趨近無窮時的極限。正是這種從無限變化中獲得的有限,從兩個相反方 向發展(當 X 趨向正無窮大的時,上式的極限等于 e=2.71828……,當 X 趨向負無窮大時 候,上式的結果也等于 e=2.71828……)得來的共同形式,充分體現了宇宙的形成、發展及 衰亡的最本質的東西。

現代宇宙學表明,宇宙起源于“大爆炸”,而且目前還在膨脹,這種描述與十九世紀后半葉的 兩個偉大發現之一的熵定律,即熱力學第二定律相吻合。熵定律指出,物質的演化總是朝著 消滅信息、瓦解秩序的方向,逐漸由復雜到簡單、由高級到低級不斷退化的過程。退化的極 限就是無序的平衡,即熵最大的狀態,一種無為的死寂狀態。這過程看起來像什么?只要我 們看看天體照相中的旋渦星系的照片即不難理解。

如果我們一定要找到亞里士多德所說的那 種動力因,那么,可以把宇宙看成是由各個預先上緊的發條組織,或者干脆把整個宇宙看成 是一個巨大的發條,歷史不過是這種發條不斷爭取自由而放出能量的過程。 生命體的進化卻與之有相反的特點, 它與熱力學第二定律描述的熵趨于極大不同, 它使生命 物質能避免趨向與環境衰退。

任何生命都是耗散結構系統, 它之所以能免于趨近最大的熵的 死亡狀態,就是因為生命體能通過吃、喝、呼吸等新陳代謝的過程從環境中不斷吸取負熵。

新陳代謝中本質的東西, 乃是使有機體成功的消除了當它自身活著的時候不得不產生的全部 熵。

“自然律”一方面體現了自然系統朝著一片混亂方向不斷瓦解的崩潰過程(如元素的衰變), 另一方面又顯示了生命系統只有通過一種有序化過程才能維持自身穩定和促進自身的發展 (如細胞繁殖)的本質。正是具有這種把有序和無序、生機與死寂寓于同一形式的特點,“自 然律”才在美學上有重要價值。

如果荒僻不毛、浩瀚無際的大漠是“自然律”無序死寂的熵增狀態,那么廣闊無垠、生機盎然 的草原是“自然律”有序而欣欣向榮的動態穩定結構。因此,大漠使人感到肅穆、蒼茫,令人 沉思,讓人回想起生命歷程的種種困頓和坎坷;而草原則使人興奮、雀躍,讓人感到生命的 歡樂和幸福。

e=2.71828……是“自然律”的一種量的表達。“自然律”的形象表達是螺線。螺線的數學表達 式通常有下面五種:(1)對數螺線;(2)阿基米德螺線;(3)連鎖螺線;(4)雙曲螺 線;(5)回旋螺線。對數螺線在自然界中最為普遍存在,其它螺線也與對數螺線有一定的 關系,不過目前我們仍未找到螺線的通式。對數螺線是 1638 年經笛卡爾引進的,后來瑞士 數學家雅各伯努利曾詳細研究過它,發現對數螺線的漸屈線和漸伸線仍是對數螺線,極點 在對數螺線各點的切線仍是對數螺線,等等。伯努利對這些有趣的性質驚嘆不止,竟留下遺 囑要將對數螺線畫在自己的墓碑上。

英國著名畫家和藝術理論家荷迦茲深深感到: 旋渦形或螺線形逐漸縮小到它們的中心, 都是 美的形狀。

事實上, 我們也很容易在古今的藝術大師的作品中找到螺線。

為什么我們的感覺、 我們的“精神的”眼睛經常能夠本能地和直觀地從這樣一種螺線的形式中得到滿足呢?這難 道不意味著我們的精神,我們的“內在”世界同外在世界之間有一種比歷史更原始的同構對應 關系嗎? 我們知道,作為生命現象的基礎物質蛋白質,在生命物體內參與著生命過程的整個工作,它 的功能所以這樣復雜高效和奧秘無窮, 是同其結構緊密相關的。

化學家們發現蛋白質的多鈦 鏈主要是螺旋狀的,決定遺傳的物質——核酸結構也是螺螺狀的。

古希臘人有一種稱為風鳴琴的樂器,當它的琴弦在風中振動時,能產生優美悅耳的音調。這 種音調就是所謂的“渦流尾跡效應”。讓人深思的是,人類經過漫長歲月進化而成的聽覺器官 的內耳結構也具渦旋狀。

這是為便于欣賞古希臘人的風鳴琴嗎?還有我們的指紋、 發旋等等, 這種審美主體的生理結構與外在世界的同構對應,也就是“內在”與“外在”和諧的自然基礎。

有人說數學美是“一”的光輝,它具有盡可能多的變換群作用下的不變性,也即是擁有自然普 通規律的表現,是“多”與“一”的統一,那么“自然律”也同樣閃爍著“一”的光輝。誰能說清 e=2.71828……給數學家帶來多少方便和成功?人們贊揚直線的剛勁、明朗和坦率,欣賞曲 線的優美、變化與含蓄,殊不知任何直線和曲線都可以從螺線中取出足夠的部分來組成。有 人說美是主體和客體的同一,是內在精神世界同外在物質世界的統一,那么“自然律”也同樣 有這種統一。人類的認識是按否定之否定規律發展的,社會、自然的歷史也遵循著這種辯證 發展規律,是什么給予這種形式以生動形象的表達呢?螺線! 有人說美在于事物的節奏,“自然律”也具有這種節奏;有人說美是動態的平衡、變化中的永 恒,那么“自然律”也同樣是動態的平衡、變化中的永恒;有人說美在于事物的力動結構,那 么“自然律”也同樣具有這種結構——如表的游絲、機械中的彈簧等等。

“自然律”是形式因與動力因的統一,是事物的形象顯現,也是具象和抽象的共同表達。有限 的生命植根于無限的自然之中,生命的脈搏無不按照宇宙的旋律自覺地調整著運動和節 奏……有機的和無機的,內在的和外在的,社會的和自然的,一切都合而為一。這就是“自 然律”揭示的全部美學奧秘嗎?不! “自然律”永遠具有不能窮盡的美學內涵, 因為它象征著廣 袤深邃的大自然。正因為如此,它才吸引并且值的人們進行不懈的探索,從而顯示人類不斷 進化的本質力量。(原載《科學之春》雜志 1984 年第 4 期,原題為:《自然律——美學家 和藝術家的瑰寶》) 2,尤拉的自然對數底公式 (大約等于 2.71828 的自然對數的底——e) 尤拉被稱為數字界的莎士比亞,他是歷史上最多產的數學家,也是各領域(包含數學中理論 與應用的所有分支及力學、光學、音響學、水利、天文、化學、醫藥等)最多著作的學者。

數學史上稱十八世紀為“尤拉時代”。

尤拉出生于瑞士,31 歲喪失了右眼的視力,59 歲雙眼失明,但他性格樂觀,有驚人的記憶 力及集中力,使他在 13 個小孩子吵鬧的環境中仍能精確思考復雜問題。

尤拉一生謙遜,從沒有用自己的名字給他發現的東西命名。只有那個大約等于 2.71828 的 自然對數的底,被他命名為 e。但因他對數學廣泛的貢獻,因此在許多數學分支中,反而經 常見到以他的名字命名的重要常數、公式和定理。

我們現在習以為常的數學符號很多都是尤拉所發明介紹的,例如:函數符號 f(x)、π、e、 ∑、logx、sinx、cosx 以及虛數 i 等。高中教師常用一則自然對數的底數 e 笑話,幫助學生 記憶一個很特別的微分公式:在一家精神病院里,有個病患整天對著別人說,“我微分你、 我微分你。”也不知為什么,這些病患都有一點簡單的微積分概念,總以為有一天自己會像 一般多項式函數般,被微分到變成零而消失,因此對他避之不及,然而某天他卻遇上了一個 不為所動的人,他很意外,而這個人淡淡地對他說,“我是 e 的 x 次方。” 這個微分公式就是:e 不論對 x 微分幾次,結果都還是 e!難怪數學系學生會用 e 比喻堅定 不移的愛情! 相對于 π 是希臘文字中圓周第一個字母,e 的由來較不為人熟知。有人甚至認為:尤拉取自 己名字的第一個字母作為自然對數。 而尤拉選擇 e 的理由較為人所接受的說法有二:一為在 a,b,c,d 等四個常被使用的字母 后面,第一個尚未被經常使用的字母就是 e,所以,他很自然地選了這個符號,代表自然對 數的底數;一為 e 是指數的第一個字母,雖然你或許會懷疑瑞士人尤拉的母語不是英文, 可事實上法文、德文的指數都是它。 雙曲余弦函數 coshx=(e^x+e^(-x))/2 判斷雙曲正弦函數和雙曲余弦函數的奇偶性并證明 求詳解! 雙曲正弦函數 sinhx=(e^x-e^(-x))/2 是奇函數 證明如下: 設 f(x)=[e^x-e^(-x)]/2 則 f(-x)=[e^(-x)-e^x]/2=-[e^x-e^(-x)]/2=-f(x) 所以雙曲正弦函數 sinhx=(e^x-e^(-x))/2 是奇函數 雙曲余弦函數 coshx=[e^x+e^(-x)]/2 是偶函數 證明如下: 設 g(x)=[e^x+e^(-x)]/2 則 g(-x)=[e^(-x)+e^x]/2=g(x) 所以雙曲余弦函數 coshx=[e^x+e^(-x)]/2 是偶函數 公式表達式 乘法與因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a 根與系數的關系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韋達定理 判別式 b2-4a=0 注:方程有相等的兩實根 b2-4ac>0 注:方程有一個實根 b2-4ac<0 注:方程有共軛復數根 三角函數公式 兩角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化積 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些數列前 n 項和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圓半徑 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角 B 是邊 a 和邊 c 的夾角 圓的標準方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圓心坐標 圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0 拋物線標準方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱側面積 S=c*h 斜棱柱側面積 S=c'*h 正棱錐側面積 S=1/2c*h' 正棱臺側面積 S=1/2(c+c')h' 圓臺側面積 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面積 S=4pi*r2 圓柱側面積 S=c*h=2pi*h 圓錐側面積 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧長公式 l=a*r a 是圓心角的弧度數 r >0 扇形面積公式 s=1/2*l*r 錐體體積公式 V=1/3*S*H 圓錐體體積公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱體積 V=S'L 注:其中,S'是直截面面積, L 是側棱長 柱體體積公式 V=s*h 圓柱體 V=pi*r2h

指數函數及性質說課稿_指數函數的性質ppt

《指數函數及性質》的說課稿 指數函數及性質》各位評委、專家,大家好!我叫周慧,來自安鄉職業中專,今天我 說課的內容是:中職數學教材第一冊 4.3“指數函數及性質” 。我將從以 下幾個方面對本堂課的設計進行說明。

一、教材分析 1、教材的地位和作用 指數函數是重要的基本初等函數,學習它既可以進一步深化學生對 函數概念的理解與認識,又可以進一步熟悉函數的性質和作用,為研究對 數函數打下堅實的基礎, 具有承前啟后的作用。它還與生活實踐緊密聯 系,學習它有著廣泛的現實意義。

2、教學的重點與難點 教學重點:指數函數的定義、圖像和性質。

教學難點:指數函數定義的理解及性質的歸納。

3、教學目標 知識與技能目標:理解指數函數的概念,掌握指數函數的圖像和性 質。

過程與方法目標:通過自主探索,讓學生經歷由“特殊——一般——特殊” 的認知過程,完善認知結構,領會數形結合,分類討論,歸納推理等數 學思想。

情感、態度與價值觀目標:在和諧的課堂氛圍中,充分發揮學生的 主觀能動性,培養他們勇于提問、善于探索的數學思維品質。 二、學情分析 學生已有一定的函數基礎知識,會建立簡單的函數關系,能用“描 點法” 繪圖,為本節知識的引入做好了鋪墊,并在此基礎上學習指數函 數,將對函數的認識更加系統化。

三、教法學法分析 將“引導式”教學與“探究式”教學有機結合,培養學生主動觀察 與思考,通過合作交流、共同探索來逐步解決問題。

四、本著遵循學生的認識規律,我將分六個環節來組織教學 (一)創設情景,導入新知。

創設情景,導入新知。

情景一: 由 2 情景一 某種細胞分裂時, 1 個分裂成 2 個, 個分裂成 4 個……, 這樣的細胞分裂 x 次后, 得到的細胞個數 y 與 x 有怎樣的函數對應關系? (課件一) 情景二: “一尺之棰,日取其半,萬世不 情景二 《莊子·天下篇》中寫道: 竭” 。請你寫出取 x 次后木棰的剩留量 y 與 x 的函數關系式。

(課件二) 細胞個數 y 與分裂次數 x 的函數關系式是 y=2 x 木棰的剩余量 y 與截取次數 x 的函數關系式是 y= ( ) x 讓學生思考兩個問題 1、y=2 x 和 y= ( ) x 這兩個解析式有什么共同特點? 2、你能否給出它們的一般形式? 設計意圖:通過生活實例激發學生的學習動機,引出了指數函數的 設計意圖 概念。

(二)啟發誘導,發現新知。

啟發誘導,發現新知。1 2 1 2 1、給出指數函數的定義: 函數 y=a x (a>0 且 a≠1)叫做指數函數,其中 x 為自變量,a 是常 數,定義域為 R。

(課件三) 強調: (1)底數是常數,指數是自變量; (2)指數函數的底數 a>0 且 a≠1; (3)指數函數的定義域是 R。

設計意圖:引導學生從實際問題中抽象出數學模型。

設計意圖 輔助練習: 例題 1,指出哪些函數是指數函數?(課件四)(1) y = 4 x( 2) y= ?4 x(3) y= x4( 4) y= 4 x +1設計意圖:加深學生對定義的理解。并指出研究一個函數,從數的 設計意圖 角度遠遠不夠,還要從形的角度分析它的圖像和性質。

2、指數函數的圖像 (1)學生用“描點法”畫出 y=2 x 、y= ( ) x 的圖像,老師巡視, 展示學生成果,后利用幾何畫板演示畫圖過程。

(課件五) (2)提出問題:你能發現兩個函數底數的關系和圖像間的聯系嗎? (3)演示兩個圖像點的對稱,得出圖像的對稱。

設計意圖:以問題為載體,啟發學生觀察與思考。

設計意圖 (4)用幾何畫板在同一直角坐標系中作出指數函數 y=2 x 、y= ( ) x 、y=3 x 、y= ( ) x 的圖像。啟發學生從圖像的位置、圖像經過的 定點、圖像的變化趨勢上分析圖像幾何特征。

(課件六) (分小組討論)1 2 1 21 3 設計意圖:用討論法教學,在交流合作中形成良好的數學思維品質。

設計意圖 (三)深入探究,理解新知。

深入探究,理解新知。

學生由幾何特征歸納出指數函數 y=a x (a>0 且 a≠1)的圖像及性 質如下表: (課件七)a>1 圖 象 0<a<1性 質(1)定義域:R (2)值域: (0,+∞) (3)過定點(0,1) ,即 x=0 時,y=1 (5)在 R 上是增函數 (5)在 R 上是減函數設計意圖:讓學生做簡單的指數函數的圖像,并通過觀察圖像的特 設計意圖 征來完成指數函數性質的建構,培養學生的數形結合和化歸轉化,分類 討論的數學思維能力。

(四)強化訓練,鞏固新知。

強化訓練,鞏固新知。

例題 1、已知指數函數 f ( x) = a x (a > 0且a ≠ 1) 的圖像經過點(3,π)求f (0), f (1), f (-3)的值。

(課件八)設計意圖:讓學生明確底數是確定指數函數的要素,同時向學生滲 設計意圖 透方程的思想。

例題 2、解下列不等式:1 1 (1)( ) 2x ?5 < ( ) x + 2 2 2同底比較大小1 (2)27 x?1 < ( )x ?1 3不同底但可化同底 設計意圖:實現學生對指數函數性質的初步應用,完成學生學習的: 設計意圖 “實踐——認識——再實踐”的過程。

(五)小結歸納,拓展新知。

小結歸納,拓展新知。

(1)通過本節課的學習你學到了哪些知識? 設計意圖:以問題為驅動,來回顧知識,小結歸納。

設計意圖 (2)思考題:A 先生從今天開始每天給你 10 萬元,而你承擔如下任 務:第一天給 A 先生 1 元,第二天給 A 先生 2 元,第三天給 A 先生 4 元,第 四天給 A 先生 8 元,依次下去…那么 A 先生要和你簽定 15 天的合同,你同 意嗎?又 A 先生要和你簽定 30 天的合同,你能簽這個合同嗎? 設計意圖 設計意圖:適應職業教育的特點,聯系實際,拓展深化。

(六)布置作業,內化新知。

布置作業,內化新知。

鞏固題: 鞏固題 1、已知指數函數 f ( x) = a x (a > 0, 且a ≠ 1), 且f (?1) = 9, 求f (?2)、 f (? )的值。

2、下列式子正確的是 (( A)1.6 2.2 > 1.6 2.4 1 1 (C )( ) 0.2 < ( ) 0.3 5 5 1 2) 。( B )0.3?0.1 > 0.3?0.2 ( D)3.2 ?0.5 < 3.2 ?0.3設計意圖:面向全體,注重知識反饋。

設計意圖 探索題:現知道古尸中的 14 C 含量,每經 1 千年的剩留量 為原來的 探索題 84%,現又測出“樓蘭女尸”中 14 C 的剩留量為原來的一半,你能推算出 “樓蘭女尸”是多少年以前的人嗎? 設計意圖:激發學生的學習興趣,培養學生的探索精神,為對數函 設計意圖 數的研究埋下伏筆。 五、板書設計指數函數及性質一、定義 隨堂練習例1例2 二、指數函數圖像及性質 思考題

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